(A képre kattintva megnyílik a vonatkozó cikk a 24.hu-n)

A fenti téma jó lehetőséget ad arra, hogy egy kicsit bemelegítsünk a kombinatorika témakörében mivel némi kombinatorikára még szükségünk lesz, amikor odaérünk a valószínűségi eloszlásokhoz. Véleményem szerint a fenti cikk felvet néhány érdekes kérdést, amin érdemes elgondolkodni. Amikor hasonló cikkeket olvasok, mindig hiányérzetem támad, mert valahogy sosem derül ki, hogy konkrétan mi is történt.

Először is szedjük össze, hogy mi is történt:

- Egy nyugdíjas házaspár felfedezett egy lehetőséget, hogyan nyerhet többet a nyertes szelvényekkel, mint amennyit befektet a szelvények megvásárlásába.

- Ez a lehetőség csak akkor adott, amikor a nyereményalap eléri az ötmillió dollárt, de nem nyeri meg senki a főnyereményt. Ekkor a lottótársaság szétosztja a teljes nyereményalapot a nem telitalálatos (öt-, négy-, három-, és kéttalálatos) szelvények között.

- Egy másik forrásból az derült ki, hogy Selbee úr egy szórólapon talált adatok alapján számolt, amelyben az állt, hogy az alapjátékban a háromtalálat nyerési esélye 1 az 54-hez és 5 dollárt lehet vele nyerni, illetve a négytalálat nyerési esélye 1 az 1 500-hoz és 100 dollárt lehet vele nyerni. Visszaosztás esetén viszont a háromtalálat 50 dollárt, a négytalálat pedig 1 000 dollárt fizet. Selbee úr tehát úgy számolt, hogy visszaosztás esetén a szelvényre elköltött 1 dollár nem egy dollárt ér, hanem többet. (https://awealthofcommonsense.com/2018/03/lessons-from-the-couple-who-hacked-the-lottery/)

Mondjuk a hivatalos matek itt nem jön ki, hiszen a háromtalálat elérése érdekében Selbee úrnak minimum 54 darab szelvényt kellett vennie 54 dollárért ahhoz, hogy nyerjen 50 dollárt, a négytalálat esetében pedig 1 500 dollárt kellett elköltenie ahhoz, hogy 1 000 dollárt nyerjen.

- Mindezek ellenére az első alkalommal vett 2 200 darab szelvényt és ezen 50 dollárt veszített (tehát nyert 2 150 dollárt a 2 200 dolláros befektetéssel). A második alkalommal 3 400 szelvényt vásárolt és ezzel nyert 6 300 dollárt. Harmadszor vett 8 000 szelvényt és nyert vele 15 700 dollárt. Ezután a michigani állami lottót megszüntették, de a nyugdíjas pár folytatta a tevékenységet Massachusetts-ben egy hasonló lottó játékban. Itt alapítottak egy lottótársaságot és 60 000 darab szelvényt vettek 120 000 dollárért. Itt 2 dollár egy szelvény ára, de már 2 millió dollárnál elindul a visszaosztás.

- A fellelhető források alapján úgy tudom, hogy Selbee úr nem saját számokkal játszott, hanem mindig a számítógéppel sorsoltatta ki a szelvények számait. Az persze nagy kérdés a számomra, hogy a számítógép által alkalmazott algoritmus vajon mennyire volt „véletlenszerű”.

Dióhéjban ez a történetnek az a része, amely bennünket érdekel. Igazából a kérdés az, hogy a hivatalos matek ellenére mégis miért nyert Selbee úr. Akkor lássunk neki…

A fenti lottójáték lényege tehát az, hogy 49 számból kell 6-ot eltalálni. Az egyszerűség kedvéért először nézzük meg, hogy hányféleképpen lehet 49 számból hatot kiválasztani. A lottó esetében egy számot csak egyszer lehet kihúzni, tehát egy számot, amit egyszer kihúztak, azt már nem lehet még egyszer kihúzni. Ha így nézzük a dolgot, akkor lássuk, hogy az első szám hányféle lehet. Ez egyszerű, ha 49 számunk van a kalapban, akkor ezt a 49 számot tudjuk kihúzni. A második szám esetében már csak 48 lehetőségünk van, hiszen egy számot már kihúztunk. Viszont az első két számnak 49 x 48 kombinációja van. A harmadik szám már csak 47-féle lehet, a negyedik már csak 46, az ötödik 45, a hatodik pedig 44-féleképpen választható ki. Ezek alapján nézzük meg, hogy hányféleképpen lehet egytalálatunk, kéttalálatunk, háromtalálatunk és így tovább…Ezt hívjuk ismétlés nélküli variációnak. Csakhogy ez még így nem jó, mert a variáció figyelembe veszi a számok sorrendjét, a lottóban viszont ez nem igaz. Ezért a fent kapott számot még el kell osztanunk a 6 szám különféle variációinak számával, azaz 6x5x4x3x2-vel. Tehát a telitalálatos szelvény nyerési esélye

A kombinációk száma mutatja, hogy hány lottószelvényt kellene vásárolnunk ahhoz, hogy ezeket megfelelően kitöltve biztosan legyen legalább egy darab egytalálatunk, kéttalálatunk, stb. A telitalálathoz több, mint tizenhárom millió szelvényt kellene megvennünk, tehát ez a vállalkozás biztosan nem lesz rentábilis.

Feltételezve, hogy az egyes számok kihúzása egyenlő valószínűséggel fordulhat elő (tehát nem csalnak a számok kihúzásakor), annak a valószínűsége, hogy a számoknak egy adott kombinációja kijön, a lehetséges kombinációk számának reciproka, tehát az egytalálat esetében 1/49, azaz ~2%. Minél több számot akarunk eltalálni, annál kisebb lesz a nyerés esélye.

Akkor most vizsgáljuk meg, vajon hogyan gondolkodott Mr. Selbee.

Az első esetben 2 200 szelvényt vásárolt, ami nem is volt annyira rossz gondolatmenet, noha elég lett volna 1 200 vagy 1 300 darab szelvényt vásárolnia. A számok alapján úgy tűnik, hogy ő a variációk és nem a kombinációk számával számolt. Az egy nyertes szelvénye valószínűleg így meg is lett, csak nem nyert annyit, mint amennyire számított, ezért veszített 50 dollárt az ügyleten. Mert szögezzük le, hogy van itt egy olyan tényező, amivel mindenképpen számolni kell, ha a potenciális nyereséget akarjuk kiszámolni, ez pedig az, hogy hányan játszanak az adott héten!

Ez azért fontos, mert a szabály az, hogy ha a nyereményalap eléri az 5 000 000 dollárt és nincs telitalálat, akkor ezt az összeget szétosztják a többi nyertes szelvény között. Egyértelmű, hogy minél több szelvényt vásárolnak, annál kisebb az egy szelvényre eső összeg az ötmillióból. A fenti adatok alapján körülbelül meg lehet becsülni, hogy hányan játszottak az adott héten:

Anélkül, hogy nagyon elvesznénk a matekban, a fenti táblából látható, hogy ha Selbee úrnak egy darab kéttalálatos szelvénye volt és ezzel 2 150 dollárt nyert, akkor több, mint 2 500 000 darab szelvényt adhatott el a lottótársaság. Ez úgy jött ki, hogy mondjuk 2 500 000 eladott szelvény esetén nagy valószínűséggel 2 126 darab kéttalálatos, 136 darab háromtalálatos, 12 darab négytalálatos és 1 darab öttalálatos szelvény várható. Ha az ötmillió dollárt elosztjuk egyenlően a 2 275 darab nyertes szelvény között, akkor körülbelül megkapjuk a Selbee úr által nyert ~2 150 dollárt. Ez mondjuk azt mutatja, hogy horribilis számú szelvény eladása esetén is rentábilis lehet a rendszer.

A következő alkalommal már 3 400 darab szelvényt vásárolt Selbee úr, ami szerintem nem változtatott lényegesen az esélyein, mert valószínűleg így is csak egy darab kéttalálatos szelvénye lett. Viszont gondolom, hogy ekkor vagy a nyereményalap lett valamivel nagyobb, vagy pedig sokkal kevesebben játszottak, így jöhetett létre a nagyobb nyereményként kapott 6 300 dollár.

A harmadik alkalommal már 8 000 darab szelvényt vásárolt, amely megint csak racionális döntésnek tűnik, mert így már várhatóan nemcsak egy, hanem mindjárt három kéttalálatos szelvénye lett. Így, ha nyert kb. 5 000 dollárt szelvényenként, akkor megnyerhette a cikkben említett 15 700 dollárt úgy, hogy a lottótársaság az előző hetihez hasonló mennyiségben értékesített szelvényeket.

Az utolsóként említett 60 000 darab szelvény, amelyet 120 000 dollárért vásárolt már a massachusetts-i lottójátékban szintén egy logikus lépés volt, hiszen ekkor a 26 darab kéttalálatos mellé már egy darab háromtalálatos szelvényt is bezsákolhatott a lottótársaság. Ha figyelembe vesszük, hogy egy háromtalálatos szelvény valószínűleg többet nyert, mint egy kéttalálatos (hiszen azt, hogy minden nyertes szelvény egyformán részesedik a szétosztott nyereményalapból csak a modell egyszerűsítése miatt feltételeztem), akkor még jobb esély volt a pozitív szaldóra.

Végső soron azt mondhatjuk, hogy bizonyos körülmények között működhetett a Selbee úr által felvázolt „üzleti modell”, de azért kimutatható bizonyos üzleti kockázat, hiszen ha például túl sokan nyernek egy adott héten vagy pont a visszaosztás hetében viszi el valaki a főnyereményt, akkor simán bukóba fordulhatott volna az eleinte nyereségesnek tűnő vállalkozás. A történet természetesen nem működhetett volna normál körülmények között, csak a visszaosztás rendszere tette nyereségessé a szükséges befektetést, úgyhogy senki se rohanjon a lottózóba…