Statisztika egyszerűen

Mágikus jelek nélkül...

Legyőzik a majmok a brókereket? – Egymintás Z-próba az előfordulás gyakoriságának vizsgálatára (Test for 1-Proportion)

2019. július 23. 09:00 - glantos70

Statisztikai elemzések

darts_choosen_stocks.jpg

1988-ban a Wall Street Journal megszervezett egy játékot, amelyet Burton Malkiel: Bolyongás a Wall Streeten című könyve ihletett, amelyben a Princeton Egyetem professzora azt merte kijelenteni, hogy egy „még egy bekötött szemű majom is, amelyik darts nyilakat dobál valamelyik gazdasági újság tőzsdei cégek listáját tartalmazó oldalaira, össze tud állítani egy legalább olyan jó portfóliót, mint a tőzsdei szakértők”. 

Az újság megszervezett egy szórakoztató versenyt, hogy letesztelje Malkiel elméletét és adjon néhány befektetési ötletet olvasóinak. Az esetek nagy részében a Wall Street Journal dolgozói voltak a „majmok” (Az újság felelősségbiztosításának hiányosságai miatt nem volt lehetséges valódi majmok alkalmazása a teszt során). A teszt hamar nagy népszerűségre tett szert, újságírók, befektetők és akadémikusok kommentálták az eredményeket. Jónéhány tudományos kutatás jelent meg a versenyről és annak mélyebb értelmezéséről. A verseny 1988 október negyedikén kezdődött és 2002-ben ért véget. A fordulók havi rendszerességgel kerültek megrendezésre és kiértékelésre, így majdnem 150 hónap eredményei állnak rendelkezésre. Noha a verseny egyes részletszabályai néhányszor megváltoztak az idők során, a főbb szabályok a következők voltak.

Minden hónapban négy szakértő kapott lehetőséget arra, hogy kiválasszon egy részvényt vételi vagy eladási céllal a következő hat hónapra. A részvénynek a következő feltételeknek kellett megfelelnie:

  • A részvény piaci kapitalizációja legyen minimum 50 millió dollár
  • A napi üzleti forgalma legyen legalább 100 000 dollár
  • Egy részvény ára legyen legalább 2 dollár
  • A részvényt jegyezzék a New Yorki Értéktőzsdén, az AMEX-en, a NASDAQ-on és külföldi részvény esetén rendelkezzen ADR-rel (American Deposit Receipt – egy amerikai bank által kiadott letéti igazolás). Ez inkább adminisztratív feltétel volt.

A profik által választott részvények négy olyan részvénnyel versenyeztek, amelyeket általában a Wall Street Journal alkalmazottai választottak ki úgy, hogy darts nyilakkal dobtak az újság által publikált részvénylisták oldalainak falra kifüggesztett példányaira. A hatodik hónap végén a részvények osztalék nélküli árváltozásait összehasonlították a hat hónappal korábbi árfolyamhoz képest. A két legjobban teljesítő szakértőt újra meghívták és hívtak melléjük két újabbat. A verseny vége felé a WSJ megkérte néhány olvasóját is, hogy adjanak tippeket részvényekre, amelyeket szintén összehasonlítottak a szakértők és a darts nyilak által választott részvényekkel.

1998 október 7-én adta közre a napilap a századik forduló eredményeit. A száz forduló eredményei ellentmondásosan alakultak. A száz fordulóból 61-et a szakértők nyertek meg, amely jelentősen jobb, mint ha feltételezzük, hogy Malkiel állítása igaz, hiszen akkor 50% körüli eredményt kaptunk volna. 39 alkalommal viszont a darts nyilak döntöttek jobban és az ezért zavaró lehetett a szakértőknek. Ráadásul a szakértőknek nem sikerült a Dow Jones Industrial Average, a New York-i Részvénytőzsde Index átlagát sem túlszárnyalni, a százból csak 51 esetben sikerült jobban teljesíteni a tőzsdeindexnél, azaz, ha egy befektető nem tesz mást, csak passzívan a Részvénytőzsde Index-re spekulál, akkor az esetek majdnem felében jobban járt volna, mint ha a szakértők tanácsát fogadja meg (még akkor is, ha az adókat és a tranzakciós költségeket nem is számoljuk).

A verseny egyébként 2002 szeptemberéig tartott, ezalatt összesen 147 alkalommal mérték össze erejüket a szakértők és a darts nyilak, ebből 90 esetben győztek a szakértők, amely a korábbihoz hasonlóan 61 százalékos eredményt jelent. A Dow Jones-nál viszont csak 80 alkalommal sikerült jobb eredményt elérni, amely így egy 54%-os eredményt hozott.

Végeredményben néhány hozzászóló szerint a versenyt a szakértők nyerték a véletlenszerű választással szemben és a napilap is úgy nyilatkozott, hogy a szakértők „kényelmes előnyt szereztek a darts nyilakkal szemben”. Nem mindenki osztotta azonban ezt a véleményt azok közül, akik elemezték a verseny eredményeit. Maga Malkiel professzor nyilatkozta, hogy a legfontosabb kifogás a verseny lebonyolításával kapcsolatban az úgynevezett „bejelentési hatás” volt. ez azt jelenti, hogy amikor a szakértők választásait a napilap közzétette, ez a részvények áremelkedését okozhatta, hiszen olvasók százezrei olvashatták ezeket a reggeli kávé mellett és ez befolyásolhatta üzleti döntéseiket is.

Mi is a kérdés a fenti esetben a statisztika nyelvére lefordítva? Ha feltételezzük, hogy Malkiel professzor állítása igaz és nincs különbség a szakértők és a darts nyilak által kiválasztott részvények hozama között, akkor feltételezhetjük, hogy az összes forduló felében a szakértők, felében pedig a darts nyilak nyertek, ez a sokaság átlaga. Ezzel szemben áll a verseny havi fordulóinak adathalmaza, a minta átlaga, amely a szakértők és a darts nyilak esetében azt mutatja, hogy a fordulók 61 százalékában a szakértők nyertek. Vajon ez a 61% elég meggyőző különbség-e ahhoz, hogy biztonsággal kijelenthessük, a szakértők jobban teljesítenek, mint a darts nyilak, azaz Malkiel professzornak nincs igaza?

Anélkül, hogy igazságot akarnék tenni a témában, szeretném megragadni az alkalmat arra, hogy tegyek egy kitérőt és bemutassak egy újabb statisztikai elemző eszközt. Korábbi bejegyzésekben már bemutattam az Egymintás Z-próbát (Z, mint Z-próba…egymintás!), azt a módszert azonban folytonos adatsorok esetében tudjuk alkalmazni. De mi történik akkor, ha diszkrét adataink vannak és valamilyen jelenség bekövetkezésének az előfordulási gyakoriságát vizsgáljuk? Ilyenkor az egymintás Z-próba nem alkalmazható, hiszen az igaz, hogy itt is egy minta adatait hasonlítjuk össze egy sokaság tulajdonságaival, viszont a diszkrét adatok és egy esemény előfordulási gyakoriságai nem esetében ez nem alkalmazható. Miért?

Már korábban is foglalkoztunk olyan eseményekkel, amelyeknek csak két kimenetele lehet (A Bernoulli-eloszlás - a világ "legyegyszerűbb valószínűségszámítási kísérlete"), csak ott egy érmét dobáltunk, itt viszont egy verseny fordulóinak eredményeit elemezzük. Ezeknek is csak két érvényes kimenetele lehetséges, vagy a szakértők győznek, vagy a darts nyilak. Az egyes fordulók eredményei nem függenek egymástól, azaz itt nem a binomiális, hanem a Bernoulli-eloszlás törvényszerűségeit fogjuk alkalmazni. A fentebb említett bejegyzésben páran kifogásolták, hogy miért kellenek a Bernoulli-eloszlás átlagára és varianciájára vonatkozó levezetések. Nos, ezek a képletek most kerülnek elő, mert a Bernoulli-eloszlás átlagát és szórását fogjuk felhasználni a teszt során.

A levezetést most nem ismételném meg, aki kíváncsi, az lapozza fel a fent említett bejegyzést. Azért, hogy az életünk ne legyen vidám és egyszerű, a komoly statisztikusok - ami én nem vagyok – egy külön jelölést használnak az előfordulási gyakoriság várható értékére, ez a p-kalap (angolul p-hat). Ez majdnem olyan, mint az x-átlag, csak a felülvonás helyén egy kis háztető-, vagy kalapforma van.

A profik vs. darts verseny esetében ez a következőt jelenti:

De ez most a számomra nem érdekes, mert ez ugyan fontos az akkurátus statisztikusoknak, én viszont megfogadtam, hogy lehetőleg minimálisra csökkentem az új jelölések és műveletek használatát, így maradok a számomra jól bevált jelöléseknél akkor is, ha a komoly tudósok megköveznek érte, tehát a 'p-kalapot' p-ként fogom jelölni.

A másik dolog, amit át kell ismételnünk a Bernoulli-eloszlással kapcsolatban az az, hogy ha egy Bernoulli-eloszlású sokaságból kiveszünk n-elemű mintákat, akkor az n-elemű minták átlaga is normál eloszlást fog követni (ez is megtalálható a fent hivatkozott bejegyzésben). Ebből viszont az is következik, hogy a mintaátlagok eloszlását is lehet standardizálni, minden egyéb más normál eloszláshoz hasonlóan, csak arra kell ügyelni, hogy mit helyettesítünk be az átlag és a szórás helyére! Az egymintás Z-próba esetében a Z-statisztika képlete ugye a következő:

Akkor most behelyettesítem be a Bernoulli-eloszlás átlagát és szórását a fenti képletbe, ahol ’p’ a mintám átlaga, ’p0’ pedig a sokaság átlaga.

Mivel feltételezem, hogy ha a szakértők nem jobbak, mint a darts nyilak, akkor ’p0’ 50% lenne, ezért a nullhipotézisünk az, hogy a sokaság átlaga, amelyből a mintát vettük, 50%. Az ellenhipotézis ennek az ellenkezője, azaz a sokaság átlaga nagyobb mint 50%. Most behelyettesítem a fenti adatokat Z képletébe:

Innentől a teszt lebonyolítása ugyanaz, mint az egymintás Z-próba esetében. Ha 95%-os megbízhatósági szinten szeretnénk eldönteni, hogy elfogadom vagy elutasítom a nullhipotézist, akkor a standard normál eloszlás ide vonatkozó egyoldali határértéke 1,64. Mivel a kapott Z-érték (2,72) nagyobb, mint a 95%-os megbízhatósági szinthez tartozó határérték (1,64), ezért a nullhipotézist elutasítom és az ellenhipotézist fogadom el, azaz elhiszem, hogy a szakértők jobban teljesítettek, mint a darts nyilak. Emlékeztetőül még egyszer idemásolom a standard normál eloszláshoz tartozó határértékek táblázatát.

A megbízhatósági intervallum felső határát is hasonlóképpen az egyenlet átrendezésével kapom meg:

Vagyis akkor tudtuk volna elfogadni a nullhipotézist, ha a sokaság előfordulási gyakoriságainak átlaga nem lett volna kisebb, mint 54,63%. Ha ugyanezt a tesztet kiszámolom a szakértők vs. Dow Jones szituációra, akkor a következőket kapom:

Mivel a kapott 1,072 jóval kisebb, mint a fent kapott határérték (1,64), ezért ez esetben el kell fogadnom a nullhipotézist, ami azt jelenti, hogy nem igazán érdemes egyedi részvényportfóliókat összeállítani akkor sem, ha valaki szakértője a tőzsdei kereskedésnek, elég ügyesen kereskedni a Dow Jones index-szel, az is fog hozni ugyanannyit a konyhára.

A következő bejegyzésben szokásomhoz híven elkészítem majd a tesztet táblázatkezelőben és Minitab segítségével is.

6 komment

A bejegyzés trackback címe:

https://statisztikaegyszeruen.blog.hu/api/trackback/id/tr7614909816

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

VT Man 2019.07.24. 17:33:09

"a százból csak 51 esetben sikerült jobban teljesíteni a tőzsdeindexnél, azaz, ha egy befektető nem tesz mást, csak passzívan a Részvénytőzsde Index-re spekulál, akkor az esetek majdnem felében jobban járt volna, mint ha a szakértők tanácsát fogadja meg"

Igy van. A szakertok es a befektetesi, nyugdijalapok pedig azert nem tudjak megverni "a piacot", mert ok maguk a piac.

Mankel 2019.07.24. 18:13:12

Ez az egész értelmetlen lehet hogy a profi befektetőknek többször volt igaza, de a olyan magas jutalékért dolgoznak, hogy a költségek levonása után az egyszeri befektető nagyobb hozamot realizál mint aki ezeket csaló... izé profikat bízza meg.

fordulo_bogyo 2019.07.24. 19:23:16

Nagyon tetszik, mint szokasosan.
Egy nem matematikai jellegu kiegeszites, meganvelemeny.
Ha a kulonbseg ilyen kicsi, akkor az lehet, hogy statisztikailag szignifikans (itt epp nem az volt, de ennek megallapitasahoz komoly hatter kell), gyakorlatilag nem jelentos, hetkoznapi szemmel nem szignifikans, azaz ha en ilyen eredmenyt latok, akkor ranezesre eldontom, hogy nem szamottevo a kulonbseg.

Egy masik kerdes: nem eleg azt nezni, hogy mikor, hany esetben voltak jobbak a szakertok, hanem azt is, hogy mennyivel voltak jobbak?

glantos70 2019.07.24. 20:16:19

@VT Man: Szerintem ők már mozgatják a piacot, nem megverik. Sőt sokszor egy-egy nagyobb összeget kisebb részletekben kell befektetniük, nehogy éppen ők mozdítsák meg a piacot egy nem kívánt irányba. A kisbefektetőknek az a kihívás, hogy miként találják ki a nagyok szándékait anélkül, hogy lenne bennfentes információjuk. Vagy van nekik...? :-)

glantos70 2019.07.24. 20:24:42

@fordulo_bogyo: Gondolom a profik vs DJIA 51%-os eredményére gondolsz. Normál esetben tényleg neki sem fogtam volna a tesztnek, de ez egy remek lehetőség volt egy ellen-tesztre, hogy működik a próba. A másik kérdésben is igazad van, csak ezt valami miatt kifelejtettem a cikkből:

"... The pro’s picks look more impressive when the actual returns of their stocks are compared with the dartboard and DJIA returns. The pros average gain was 10.8% versus 4.5% for the darts and 6.8% for the DJIA. ..."

forrás: www.investorhome.com/darts.htm

Bocs. :-)

glantos70 2019.07.24. 20:36:09

@Mankel: Ebben is van logika, ezért kell a Dow Jones-t kereskedni. Viszont mindig van, aki azt gondolja, hogy meg tudja verni a Dow-t, mások pedig érzelmi alapon vagy "bennfentes információk" alapján próbálnak kereskedni, meg persze vannak a "technikai kereskedők" is, meg az amatőrök.

Én mondjuk nem bíznám a pénzemet brókerre, mert lenyúlja. Ha már kénytelen vagyok dealing desk-et használni, akkor gondosan összehasonlítom az árakat, és egy jó ár/érték arányt próbálok választani.
süti beállítások módosítása