Jelen pillanatban a tavaly decemberben Kínában kitört koronavírus-járvány tartja lázban a világot. Egyelőre senki sem tudja, hogy mekkora lesz a járvány kiterjedése, mennyire gyorsan fog elterjedni a világban, mennyien fognak megbetegedni illetve a betegség miatt meghalni és meddig fog tartani a járvány. Most éppen ott tartunk, hogy a világ szinte minden légitársasága felfüggesztette az összes Kínából és Kínába tartó közvetlen légijáratát 2020 márciusáig. Azért eddig az időpontig, mert a korábbi tapasztalatok (pl.: a 2002-2003-ban kitört SARS járvány lefolyása, mivel az egy hasonló koronavírus volt) alapján erre az időpontra teszik a járvány csúcspontját.
Szerencsére a járványügyi szakemberek nem nézik tétlenül a vírus terjedését, a korábbi hasonló járványok tapasztalatai alapján már léteznek azok a matematikai és statisztikai modellek, amelyek alapján a járvány terjedésének jövőbeni lefolyása – ha nem is jósolható meg pontosan – de becsülhető. A járványok terjedésének modellezésére többféle matematikai modell is alkalmazható, de szinte mindegyik modell az úgynevezett kompartment-, vagy rekeszes modelleken alapul.
Ezek lényege, hogy adott egy populáció, amelynek tagjai különféle módon viselkedhetnek egy adott esemény, például egy járvány során. Ha a populáció egyedeit a viselkedésük alapján csoportokba soroljuk (vagy „rekeszekbe” helyezzük el?), akkor az egyes rekeszekben lévő egyedek számának változása alapján a betegség terjedése a populáción belül jól nyomon követhető.
Az egyik elterjedt modell az úgynevezett SIR-modell, ahol a populáció egyedeit három kategóriába sorolhatjuk:
- S (Susceptible) – ide tartoznak azok az egyedek, amelyek hajlamosak lehetnek a megbetegedésre
- I (Infective) – megfertőződött egyedek, amelyek képesek megfertőzni további egyedeket, továbbá a betegséget hordozókat is ebbe a csoportba sorolhatjuk
- R (Removed vagy Recovered) – ebbe a csoportba tartoznak azok az egyedek, akiket nem lehet megfertőzni (akik szervezete eléggé immunis volt a betegségre), valamint azok, akik már kigyógyultak a betegségből, ezért a szervezetük immunissá vált a fertőzésre, illetve….
A modell egyik lényeges bemenő adata az alap reprodukciós ráta (R0), amely azt jelzi, hogy egy fertőzésre hajlamos egyed átlagosan hány további megbetegedésre hajlamos egyedet fog megfertőzni.
A modell alapgondolata az, hogy fertőzés akkor történek, amikor egy másokat megfertőzni képes egyed találkozik egy megbetegedésre hajlamos egyeddel. Ez a valószínűség Poisson-eloszlású (A kis számok törvénye, avagy halálos lórúgások a porosz hadseregben - A Poisson-eloszlás). A járvány a kitöréssel kezdődik, és addig tart, ameddig van megbetegedésre hajlamos egyed. A gyakorlatban inkább a diszkrét idő-térbeli modellek (discrete time-spatial models) alkalmazása az elterjedtebb, amikor nemcsak a populáció egyedeit sorolják különféle kategóriákba, hanem az eltelt időt is megadott időintervallumokra osztják fel és ezzel kapcsolatban élnek bizonyos feltételezésekkel. A SIR modell esetében az egyik kiinduló feltételezés az, hogy egy egyed, aki a t-1 időpillanatban hajlamos a megbetegedésre, az a t időpillanatban beteg lesz, illetve minden megbetegedett egyed a következő időpillanatban az R (Removed vagy Recovered) kategóriába kerültek, azaz többé már nem betegek. Egy másik kiinduló feltétel az, hogy a megbetegedés valószínűsége konstans a választott idő intervallumon belül, de természetesen egy újabb időintervallumban ez megváltozhat a körülmények függvényében. Az éppen aktuális reprodukciós rátát effektív reprodukciós rátának nevezik és Re-vel jelölik. Szintén előfeltevés, hogy a betegségre hajlamos és a fertőző egyedek találkozásai egymástól független események.
Mivel a különböző „kompartment”-ekben lévő egyedek száma idő intervallumról intervallumra változik, ezért a modellek ezeket az időbeni változásokat függvények deriváltjaként írják le. A három „kompartment”-ben lévő elemek száma az elméleti modell alapján a következő módon fog változni:
A kék pontok az S (Susceptible) csoportba tartozók adatait tartalmazzák, vagyis azokat, akik hajlamosak a megbetegedésekre. Jól látható, hogy ezek száma a járvány terjedésével folyamatosan csökken, hiszen belőlük lesznek a betegek. A zöld pontok jelzik a megbetegedéseket (I – Infected), amelyek száma a járvány kitörésekor dinamikusan nőni fog, de egy idő után elkezd folyamatosan csökkenni. A piros pontok az R (Removed) kategóriába tartozó egyedek számának változását jelzik. A járvány előrehaladtával ezek száma folyamatosan nőni fog.
A három csoport között az egyedek megadott „sebességgel” fognak áramlani. Az egyedek „áramlási rátáját” a megbetegedésekre hajlamosak csoportjából a betegek csoportjába β-val, ahol β az egységnyi idő alatt létrejött átlagos találkozások száma egy fertőző (I) és egy betegségre hajlamos (S) egyed között. A hasonló „áramlási rátát” a betegek (I) és a gyógyult vagy elhalálozott (R) csoport között γ-val jelöljük. Ezt nevezhetjük gyógyulási és halálozási rátának is.
R0 értékét tulajdonképpen a β és a γ áramlási ráták hányadosa adja meg; azaz, hogy a megbetegedések hányszor gyorsabban vagy lassabban keletkeznek, mint ahogy a betegek meggyógyulnak vagy meghalnak. Ebből következik, hogy ha ez az R0 tényező kisebb, mint 1, akkor a járvány szép lassan elhal, ha viszont nagyobb mint 1, akkor a járvány terjedni fog.
A találkozás valószínűsége és annak időbeni változása természetesen rengeteg különféle tényezőtől függ és az elfogadható pontosságú becsléshez folyamatos bemenő információk szükségesek, illetve vannak még bonyolultabb modellek is, amelyek más fontos tényezőket is figyelembe vesznek. Például ez esetben nem a SIR, hanem a SEIR modellt alkalmazták a kutatók, amire azért volt szükség, mert a mostani koronavírusnak van lappangási ideje is, így a korábbi három kategória mellé bevezettek egy negyediket is, amelyet E (Exposed) betüvel jelölnek. Ez az a kategória, amely azokat tartalmazza, akik már megkapták a betegséget, de a tünetek még nem tapasztalhatók. Természetesen ebben az állapotban az E csoportba tartozó egyedek már fertőznek.
És most térjünk rá a konkrét esetre. A legátfogóbb előrejelzést a kínai kutatók adták meg. Adataik szerint az R0 értéke 4,71 (megbízhatósági intervallum: 4,5-4,92) volt 2019 decemberében. Azóta az Re értéke 2,08-ra (megbízhatósági intervallum: 1,99-2,18) csökkent, amely alapján – ha ez a csökkenő trend nem változik, akkor – az Re érték három hónapon belül 1 alá csökken. Ezek az adatok nagyon hasonlóak a 2003-as SARS és a 2014-es MERS járványhoz.
Ha a jelenlegi karantén intézkedések folytatódnak, akkor a megbetegedések száma március elejére fogja elérni a csúcspontját, ez körülbelül a 80. nap a járvány kitörése óta.
A baloldali grafikonon a megbetegedések és a halálesetek becsült száma, a jobboldali grafikonon pedig az adott időpillanatban beteg emberek száma látható.
A jelenleg bevezetett intézkedések jelentősen csökkentik a járvány kiterjedését. Például jelenleg hat nap telik el a tünetek megjelenésétől a beteg elkülönítéséig. Ha ez az időtartam csak egy nappal csökken, az 72-84%-al csökkentené az összes megbetegedések számát. Az utazási korlátozások és az arcmaszk használata további 20-47%-al csökkenti az összes megbetegedések számát.
A jelenlegi adatok alapján a koronavírus terjedési sebessége nagyjából ugyanakkora, mint a korábbi SARS és MERS járványok esetében, de a halálozási arány valamivel alacsonyabb. A bevezetett utazási korlátozások és egyéb intézkedések pozitívan befolyásolják a járvány terjedését, de ha beindul Kínában a „Tavaszi Fesztiválhoz” kapcsolódó utazási dömping, akkor a jelenleg érvényes terjedési mintázatok még megváltozhatnak, emiatt további beavatkozások várhatók.
Akit érdekel, az alábbi linken elérheti a korona vírus terjedésének legfrissebb adatait:
https://hub.jhu.edu/2020/01/23/coronavirus-outbreak-mapping-tool-649-em1-art1-dtd-health/
Források:
Knipl Diána: Védekezzünk matematikával a járványok ellen! – Bolyai János Matematikai Társulat, 2018 Június
http://www.ematlap.hu/index.php/gazda-g-sag-2018-06/739-vedekezzunk-matematikaval-a-jarvanyok-ellen
Wikipedia - Compartmental models in epidemiology
https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology
Jon Wakefield, Tracy Qi Dong and Vladimir N. Minin: Handbook of Infectious Disease Data Analysis, www.arvix.org, 1 Nov 2017
Jonathan M. Read, Jessica R.E. Bridgen, Derek A.T. Cummings, Antonia Ho, Chris P. Jewell: Novel coronavirus 2019-nCoV: early estimation of epidemiological parameters and epidemic predictions,
Mingwang Shen, Zhihang Peng, Yanni Xiao, Lei Zhang: Modelling the epidemic trend of the 2019 novel coronavirus outbreak in China, posted on 25. 01. 2020
