Ez alkalommal egy régi valószínűségszámítási feladvány felidézése kapcsán szeretnék elmélkedni olyan alapvető fogalmakról, mint az esemény és a valószínűség. Az ihletet egy 1959-ben kiadott statisztika könyv adta, amely egy kicsit különleges a rengeteg létező statisztika tankönyv között. A könyv egyrészt a szerző személye, másrészt a könyv stílusa miatt érdekes.
Robert Osher Schlaifer egy borotvaéles logikával megáldott sokoldalú és kiváló tudós volt, aki a görög rabszolgaságtól a modern repülőgépmotorokig bármihez értett. Ha valami felkeltette az érdeklődését, makacsul beleakaszkodott a témába és addig nem engedte el, amíg el nem ért valamilyen eredményt. A statisztikához viszont nem igazán értett annak ellenére, hogy a Harvard-on többek között statisztikai folyamatszabályozást tanított. Az órákra a kor neves statisztikusai – Ronald Fischer, Jerzy Neyman és Egon Pearson – könyveiből próbált felkészülni, azonban rá kellett ébrednie, hogy az előbb említett szerzők által ismertetett módszerek nem feltétlenül jelentenek megoldást azoknak az üzletembereknek, akiknek nincs ideje és lehetősége hosszadalmas kísérletek végrehajtására, illetve nem állnak rendelkezésükre hosszú időre visszatekintő pontos adatok azokról a jelenségekről, amelyekkel kapcsolatban fontos üzleti döntéseket kell hozniuk. Ezeknek a döntéseknek a meghozatalában azonban a klasszikus statisztika relatíve kevés támogatást nyújt, meg ezeknek az elfoglalt embereknek egyébként sincs ideje arra, hogy számukra érthetetlen nyelven írt hosszú elméleti publikációkat olvasgassanak.
Ebben a könyvben találtam ezt az egyszerű kis példát, amely egyébként Jean de Rond D’Alembert-től, a neves matematikustól származik az 1700-as évekből. D’Alembert kérdése az volt, hogy ha feldobunk két érmét, akkor mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan egy fej lesz az eredmény. D’Alembert válaszában azt állította, hogy ennek esélye 1/3, mert a két érme feldobásának eredménye háromféle lehet: 0 fej, 1 fej, vagy 2 fej. Ha ezek valószínűségét egyformának tekintjük, akkor megkapjuk a fenti eredményt.
Mai fejjel persze egyértelmű, hogy a fenti gondolatmenet hibás, hiszen az érmedobásoknak nem három, hanem négyféle potenciális eredménye lehet: fej-fej, fej-írás, írás-fej és írás-írás. Mivel ezek közül két olyan eset van, amikor pontosan 1 fej jön ki eredményként, így a kérdésre adott válasz nem 1/3 hanem 1/2.
Ez a kis példa lehetőséget ad arra, hogy elmélkedjek egy kicsit olyan elvont fogalmakról, mint az esemény, az eseménytér vagy a valószínűség. A példánál maradva, az esemény természetesen az, hogy feldobtunk két darab érmét és ennek lesz egy eredménye. Ennek az eseménynek lehetnek lehetséges eredményei vagy kimenetelei, ez lenne a fentebb felsorolt négy különböző eset; a fej-fej, a fej-írás, az írás-fej és az írás-írás. Ez a négy különböző eset négy különböző esemény, amelyek bármelyike bekövetkezhet egy adott valószínűséggel. Azon lehet vitatkozni, hogy melyik potenciális eseménynek mekkora a valószínűsége. Feltételezzük, hogy a négy potenciális esemény bekövetkezésének az esélye elméletileg egyforma. De mennyire igaz ez? Ez alapján megjósolható a következő dobás eredménye? Az első kérdés az, hogy milyen időtávon gondolkodunk, azaz hányszor dobjuk fel a két érmét. Ha nagyon sokszor dobjuk fel őket és azt vizsgáljuk, hogy az feldobások mekkora hányadában történt meg melyik potenciális esemény, akkor persze azt fogjuk tapasztalni, hogy az egyes alternatívák az elméletnek megfelelően nagyjából egyforma eséllyel fognak előfordulni.
De mit mond ez nekünk a soron következő dobás eredményéről? Tulajdonképpen semmit.
Ha hasonló érmedobások rövid sorozatait vizsgáljuk, akkor a kapott gyakoriságok sajnos jelentősen eltérhetnek a korábban ismertetett elméleti valószínűségektől. Jó, de ha az a célunk, hogy megjósoljuk egy adott esemény bekövetkezésének a valószínűségét, akkor miért használjuk ezeket a csak hosszútávon igaz elméleti valószínűségeket? Ez egy igen nyomós kérdés.
Szerencsére a fenti hosszútávra szóló becslések nem teljesen légbőlkapottak. Mindaddig, amíg feltételezhetjük, hogy az érmék szabályos alakúak, illetve mindkét érmének van egy fej és egy írás oldala, addig a fent említett elméleti valószínűségek igazak. Vagyis a fenti valószínűségeket nem csak úgy kitalálta valaki, hanem a természet, a fizika törvényszerűségei és rengeteg - egyébként bárki által megismételhető - kísérlet tapasztalatai alapján lettek meghatározva, tehát a racionálisan gondolkodó ember nem hagyhatja ezeket figyelmen kívül.
Ezek a hosszútávú valószínűségek önmagukban nem használhatók arra, hogy megjósoljuk a következő érmedobások eredményét, arra viszont igen, hogy a segítségükkel megalapozott következtetéseket tudjunk tenni egy adott szituációra vonatkozóan.
További megfigyelés, hogy a fenti példában az érmedobások eredményeként kapható potenciális események nem valósulhatnak meg egyszerre.
Ha az egyik esemény egyszer megvalósult, akkor a másik három esemény közül egyik sem fog megvalósulni. Ezek a potenciális elemi események Egymást Kölcsönösen Kizáró Események (mutually exclusive events).
Az érmefeldobással kapcsolatos másik érdekes megfigyelés az az, hogy nehezen elképzelhető, hogy a már korábban említett négy potenciális eredményen kívül bármilyen más esemény is bekövetkezhet. Hacsaknem feltételezzük, hogy valaki beszél sirályul (lásd a videót a képre kattintva, ha esetleg valakinek még nem a könyökén jönnek ki a Bud Spencer – Terence Hill filmek), a természet és a fizika törvényeit figyelembe véve erősen valószínűtlen, hogy bármilyen más eredménye lenne a kísérletnek.
Az érmedobások eredménye csak a négy potenciális lehetőség (fej-fej, fej-írás, írás-fej, írás-írás) valamelyike lehet, az adott körülmények között semmilyen más végkimenet nem lehetséges. Ezeket egy eléggé hüly… nehezen lefordítható néven Együttesen Kimerítő Eseményeknek (collectively exhaustive events) nevezzük.
Mi a helyzet a valószínűségekkel? Azt nem tudjuk, hogy az egyes lehetséges események bekövetkezésének mekkora a valószínűsége, de valamit azért tudhatunk.
A négy lehetséges esemény valószínűségeinek összege 1.
Ebből következik a következő megfigyelés, hogy ha a négy esemény bekövetkezésének valószínűsége 1, akkor
Az egyes lehetőségek bekövetkezésének valószínűsége egy 0 és 1 közötti szám lesz.
Azt nem tudjuk, hogy melyik lehetőség valószínűsége pontosan mennyi lesz, csak azt, hogy a mindegyik valószínűség valahol 0 és 1 közé fog esni. Azon lehet vitatkozni, hogy vajon előfordulhat-e, hogy valamelyik eset valószínűsége 1 és a másik háromé 0 (például két olyan érme feldobása esetén, amelyek mindkét oldala fej). Sokkal valószínűbb, hogy mind a négy lehetőség bekövetkezhet valamekkora valószínűséggel.
A feladat során feltett kérdés az volt, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy az egyik érme fej lesz. A négy lehetséges esemény közül kettő olyan van, amikor pontosan egy fejet kapunk eredményként, a fej-írás és az írás-fej. Logikusan belátható, hogy mivel a fej-írás és az írás-fej egymást kölcsönösen kizáró események; azaz, ha az egyik bekövetkezik, akkor a másik nem fog, ezért
a két eset összegzett bekövetkezési valószínűsége megegyezik a két elemi esemény bekövetkezési valószínűségeinek ÖSSZEGÉVEL.
Ez a példa persze egyszerű, mert a várható valószínűségek a példa jellegéből adódóan pontosan meghatározhatók. Az üzleti és a műszaki életben viszont igen gyakoriak az olyan helyzetek, amikor korlátozott információkkal rendelkezünk a potenciális események bekövetkezési valószínűségeiről. Az ilyen szituációk kezelése természetesen megér majd egy pár újabb bejegyzést.
Forrás:
Robert Schlaifer: Probability and Statistics for Business Decisions: An introduction to managerial economics under uncertainty, McGraw-Hill, New York,1959
https://www.gwern.net/docs/statistics/decision/1959-schlaifer-probabilitystatisticsbusinessdecisions.pdf
