Hosszú út vezetett a normál eloszlás pontos leírásáig a szerencsejátékoktól kezdve a csillagászaton át a skót katonák mellbőségének elemzéséig. 1654 óta sok híres matematikus gondolkodott erről a természetben igen gyakran tapasztalható jelenségről. A normál eloszlás először nem is normál eloszlásként volt ismert, Galilei fejtette ki 1632-ben, hogy a bolygók helyzetének meghatározásakor kisebb-nagyobb hibákat lehet megfigyelni, amely visszavezethető a megfigyelő, a megfigyeléshez használt eszközök és a megfigyelés körülményeinek bizonytalanságaira. Ezek a hibák szimmetrikusan helyezkednek el a bolygó valós pozíciója körül, kisebb hibák gyakrabban, nagyobb hibák ritkábban fordulnak elő. Sajnos azt a kérdést már nem tette fel, hogy ezeket a hibákat hogyan lehetne megbecsülni. Tehát először a mérendő jellemzők átlag körüli szóródását inkább észlelési hibaként kezelték és nem természetes jelenségként. Ez a felfogás még nagyon sokáig így is maradt. De akkor honnan jön a normál eloszlás elnevezése?
Úgy tűnik, hogy ez egy kisebb félreértés eredménye. A hibagörbét először Gauss-féle hibagörbének, vagy Gauss-görbének nevezték, de egy Pearson nevű matematikus normál eloszlás görbeként hivatkozott rá, amit egy későbbi írásában hibának minősített.
Az előzményekből viszont még mindig nem derült ki, hogy miért tapasztalható a szóródásnak ez a szabályos változata ennyire gyakran a természetben. Ezt legegyszerűbben a dobókocka kísérletünk tovább fejlesztésével lehet bemutatni. Abban már megegyeztünk, hogy egy szabályos dobókockával elvégzett nagy mennyiségű kísérlet eredménye egyenlete eloszlást mutat. De mi történik akkor, ha két dobókockával dobunk és a dobott számok összegét vizsgáljuk? Ekkor két egymástól független folyamat eredménye adja a mért jellemzőt. Nézzük meg, hogy a két kockadobás eredménye hányféle módon alakulhat ki:
Az egyenletes eloszlás téglalapja után a két dobókockával végzett dobások összegének eloszlása inkább egy háromszögre hasonlít. Vajon miért lehet ez? Egy kicsit jobban belegondolva abba, mi is történik észre vehetjük, hogy vannak olyan összegek, amelyek csak egyféleképpen jöhetnek létre és vannak olyanok, amelyek többféle számkombináció eredményeként is kialakulhatnak. Ha tételesen összeszedjük, hogy az egyes számok hányféleképpen jöhetnek ki, a következőt kapjuk:
Tegyük fel, hogy a két dobókockát megkülönböztetjük, így nem ugyanaz, ha az első dobókockával egyet dobunk, a másodikkal pedig kettőt, illetve, ha az első dobókockával kettőt és a másodikkal egyet. Ebben az esetben a következő eredményt kapjuk:
· Kettőt vagy hatot csak egyféleképpen kaphatunk eredményként, ha mindkét kockával egyet vagy hatot dobunk.
· A hetes viszont hatféleképpen is előállhat, ha 1+6-ot, 6+1-et, 2+5-öt, 5+2-őt, illetve 3+4-et és 4+3-at dobunk.
Azaz ekkor már nem mondhatjuk, hogy az egyes lehetséges végkimenetelek valószínűsége ugyanannyi, hiszen vannak olyan eredmények, amelyek többféleképpen, azaz nagyobb valószínűséggel fordulhatnak elő, mint mások.
Most nézzük meg, hogy néz ki ugyanez három dobókocka esetén:
Ebben az esetben is jól megfigyelhető, hogy mennyire hasonlít az 5000 darab kockadobás által kirajzolt hisztogram a lehetséges végkimenetelek variációi által kirajzoltra.
Mi történik, ha még eggyel tovább növeljük a kockák számát?
Ez a görbe már tényleg egészen hasonlít a Gauss-görbére! És a lehetséges végkimenetelek variációinak hisztogramja?
A két hisztogram itt is nagyon hasonló. Olyan, mintha egy adott esemény előfordulási gyakorisága arányos lenne azzal, ahányféleképpen az eseményt befolyásoló tényezők variációi elő tudják állítani az adott eseményt.
Tehát végeredményként azt kapjuk, hogy amikor egy mennyiség több egymástól független tényező hatására jön létre, minél több az egymástól független tényezők száma, a mért értékek szóródása annál inkább közelít a Gauss-eloszláshoz. Ezt a szakirodalom az egymástól független tényezők aggregációjának, vagy együttes hatásának nevezi.
Egy másik elmélet szerint azért fordul elő olyan sokszor a Gauss-eloszlás a természetben, mert ennek az eloszlástípusnak a legnagyobb az entrópiája. A fizika törvényei alapján a természetben azok a folyamatok fognak lezajlani és úgy, hogy a teljes rendszer rendezetlensége a lehető legnagyobb mértékben növekedjen. Ennek bizonyítása viszont bonyolultabb, úgyhogy ezt fogadjuk el így.
Irodalom:
Saul Stahl: The evolution of the normal distribution, Mathematics Magazine, VOL. 79, NO. 2, APRIL 2006 - page 96-113 / https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/stahl96.pdf
Steven A. Frank: The Common Patterns of Nature, Published online 2009 Jun 17 on the website of National Center of Biotechnology Information / https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2824446/
http://mathworld.wolfram.com/Dice.html
